Uniswap

Uniswap 是以太坊上 DeFi 的基石。它用 AMM（自动做市商）代替传统订单簿，让用户在没有中间做市商的情况下直接兑换代币。

核心演进可以看成三步：

  • v1 / v2：全区间恒定乘积 \(xy = k\)
  • v3：把流动性集中到指定价格区间
  • v4：AMM 算法基本不变，改的是合约架构（单体、闪电记账、hooks）

Uniswap v1 / v2

v1 只允许 ETH / ERC20 组成交易对。v2 放开了限制，ERC20 / ERC20 也可以组 pair。

兑换、加池、撤池都围绕同一个公式：

$$ x \cdot y = k $$

\(x\)、\(y\) 是池子里两种代币的储备，\(k\) 在一笔 swap 过程中保持不变（手续费会让 \(k\) 缓慢变大）。

下面用一组贯穿的数字：

x = 2000
y = 100
k = 2000 * 100 = 200000
总 LP = 1000

添加流动性

添加流动性前后要保持 \(x / y\) 的比例不变。想加 \(100\) 个 \(x\)，就必须同时加 \(5\) 个 \(y\)：

$$ \frac{100}{2000} = \frac{5}{100} $$

获得的 LP 数量取两侧份额的较小值：

$$ \begin{aligned} \mathrm{lp}_x &= \frac{100}{2000} \times 1000 = 50 \\ \mathrm{lp}_y &= \frac{5}{100} \times 1000 = 50 \\ \mathrm{lp} &= \min(\mathrm{lp}_x, \mathrm{lp}_y) = 50 \end{aligned} $$

对应 v2 合约里的：

$$ L = \min\left( \frac{\Delta x \cdot S}{x},\; \frac{\Delta y \cdot S}{y} \right) $$

其中 \(S\) 是当前 totalSupply。

首次添加流动性时还没有 \(S\)，公式换成：

$$ \mathrm{lp} = \sqrt{xy} - L_{\min} $$

\(L_{\min}\) 即 MINIMUM_LIQUIDITY，默认是 \(1000\)，会永久锁到 address(0)，避免池子被抽空后价格被任意操纵。

加完后池子变成：

x = 2100
y = 105
总 LP = 1050

兑换

兑换前后保持 \(k\) 不变，但协议会先从输入里抽走 0.3% 手续费。

用户用 \(100\) 个 \(x\) 换 \(y\)：

$$ \begin{aligned} 2100 \times 105 &= \bigl(2100 + 100 \times (1 - 0.003)\bigr) \times (105 - \Delta y) \\ \Delta y &\approx 4.759 \end{aligned} $$

等价于合约里的 \(997 / 1000\) 算法：

$$ \begin{aligned} \text{amountInWithFee} &= 100 \times 997 \\ \text{amountOut} &= \frac{\text{amountInWithFee} \times 105} {2100 \times 1000 + \text{amountInWithFee}} \approx 4.759 \end{aligned} $$

手续费留在池子里，所以实际 \(k\) 会略微增大，这就是 LP 的收益来源。

移除流动性

销毁自己持有的 LP，按份额取回两种代币。假设用户有 \(100\) LP，当时总供应 \(1000\)，池子 \(x = 2000\)、\(y = 100\)：

$$ \begin{aligned} x_{\mathrm{out}} &= \frac{100}{1000} \times 2000 = 200 \\ y_{\mathrm{out}} &= \frac{100}{1000} \times 100 = 10 \end{aligned} $$

Uniswap v3

v2 的流动性均匀铺在 \((0, +\infty)\) 上，大部分永远用不上。v3 允许 LP 把流动性集中到自己选择的价格区间，同样的资金能提供更高的深度。

价格被离散成 tick：

$$ P(\mathrm{tick}) = 1.0001^{\mathrm{tick}}, \quad \mathrm{tick} \in [-887272,\, 887272] $$

每个 fee tier 对应一个 tickSpacing，流动性只能加在能被 tickSpacing 整除的 tick 上：

feetickSpacing
0.01%1
0.05%10
0.30%60
1.00%200

v3 不再发可替换的 ERC20 LP token，每个头寸是一张 NFT（tokenId），因为不同区间、不同手续费档位无法互相替代。

添加流动性

区间内的虚拟流动性 \(L\) 和两种代币数量的关系：

当前价格在 \([P_a, P_b]\) 内：

$$ \begin{aligned} \Delta y &= L \bigl(\sqrt{P} - \sqrt{P_a}\bigr) \\ \Delta x &= L \left(\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) \end{aligned} $$

当前价格 \(P < P_a\)（区间在上方，只需要 \(x\)）：

$$ \Delta x = L \left(\frac{1}{\sqrt{P_a}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right), \quad \Delta y = 0 $$

当前价格 \(P > P_b\)（区间在下方，只需要 \(y\)）：

$$ \Delta y = L \bigl(\sqrt{P_b} - \sqrt{P_a}\bigr), \quad \Delta x = 0 $$

链上用 \(\mathrm{sqrtPriceX96} = \sqrt{P} \cdot 2^{96}\) 存价格，所以实际计算会多一个 \(Q96 = 2^{96}\) 的定点缩放：

$$ \begin{aligned} \Delta y &= L \cdot \frac{\mathrm{sqrtPriceX96} - \mathrm{sqrtLowerX96}}{Q96} \\ \Delta x &= L \cdot Q96 \cdot \frac{\mathrm{sqrtUpperX96} - \mathrm{sqrtPriceX96}} {\mathrm{sqrtPriceX96} \cdot \mathrm{sqrtUpperX96}} \end{aligned} $$

例子：

tickSpacing = 60
currentTick = 0          # 当前价格 = 1
tickLower   = -60
tickUpper   = 60
amount0     = 100

sqrtPriceX96(-60) = 78990846045029531151608375685
sqrtPriceX96(0)   = 79228162514264337593543950336
sqrtPriceX96(60)  = 79466191966197645195421774832

由 \(\Delta x = 100\) 反解 \(L\)，再代入 \(\Delta y\) 公式，整数除法得到 \(\Delta y = 99\)。区间关于 \(P = 1\) 对称，实数计算下两种代币几乎相等；链上 floor 之后差 1 个 wei 量级的单位。

Swap

v3 的 swap 不再一次走完整条曲线，而是沿着 tick 一段一段走：

  1. 确定方向：\(x \to y\)（zeroForOne）还是 \(y \to x\)
  2. 沿该方向找到下一个已初始化（有人挂过流动性）的 tick
  3. 用当前这段的 \(L\) 和上面的 \(\Delta x / \Delta y\) 公式，算出这段最多能换多少
  4. 输入在这段就耗尽：直接结束
  5. 还有剩余：跨过这个 tick，更新当前 \(L\)（加上 liquidityNet），继续下一段

跨 tick 时还要翻转该 tick 的 feeGrowthOutside，供后面计算区间内手续费用。

移除流动性

和添加是同一套公式，只是方向相反。同样要看当前价格落在哪：

在区间内：

$$ \begin{aligned} \Delta x &= L \left(\frac{1}{\sqrt{P}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) \\ \Delta y &= L \bigl(\sqrt{P} - \sqrt{P_a}\bigr) \end{aligned} $$

高于上限（只能取回 \(y\)）：

$$ \Delta y = L \bigl(\sqrt{P_b} - \sqrt{P_a}\bigr) $$

低于下限（只能取回 \(x\)）：

$$ \Delta x = L \left(\frac{1}{\sqrt{P_a}} - \frac{1}{\sqrt{P_b}}\right) $$

价格已经走出区间后，头寸不再承担成交，但之前累计的手续费仍可以领取。

手续费记账

v2 的手续费直接混进储备里，所有 LP 按份额均分。v3 的头寸区间不同，必须按「这段时间有没有在范围内」分别记账。分三层：

层级记什么
PoolfeeGrowthGlobal0/1：全池每单位流动性累计的手续费
TickfeeGrowthOutside0/1：该 tick 外侧累计的手续费
Position上次结算时的 feeGrowthInside

一个 \([\mathrm{tickLower}, \mathrm{tickUpper}]\) 区间内部累计的手续费：

$$ \begin{aligned} \text{feeGrowthInside} &= \text{feeGrowthGlobal} \\ &\quad - \text{feeGrowthOutside}(\mathrm{lower}) \\ &\quad - \text{feeGrowthOutside}(\mathrm{upper}) \end{aligned} $$

outside 的含义取决于当前 tick 在该 tick 的哪一侧，跨 tick 时会翻转一次。头寸未领取的手续费：

$$ \text{unclaimed} = L \cdot (\text{feeGrowthInside}_{\mathrm{now}} - \text{feeGrowthInside}_{\mathrm{last}}) $$

Uniswap v4

v4 的 AMM 数学和 v3 一样，仍然是集中流动性 + tick。变化在合约架构，主要是三点。

单体架构（Singleton）

v3 每个 pool 单独部署一个合约。v4 把所有池子放进同一个 PoolManager，用

PoolId = hash(currency0, currency1, fee, tickSpacing, hooks)

区分。少了一次次 CREATE2 部署，创建池子和跨池路由的 gas 都更低。

闪电记账（Flash Accounting）

v3 每一步都立刻 transfer ERC20。v4 在一次 lock / unlock 里只记余额 delta（用 transient storage），最后再统一 settle / take。中间的加池、swap、跨池操作可以互相抵消，少很多次代币转账。

约束是：unlock 时所有 currency 的 delta 必须归零，否则 revert。

Hooks

每个池子可以绑定一个 hook 合约，在生命周期前后插入自定义逻辑，例如：

  • before/afterInitialize
  • before/afterSwap
  • before/afterAddLiquidity / before/afterRemoveLiquidity
  • before/afterDonate

动态手续费、内部限价单、自定义 oracle、挂钩稳定币曲线，都可以做在 hook 里，而不用分叉整个 AMM。